55 p進小数と数値計算

$ \Bbb Q_p:\N\ni p\mapsto\{r\in\Bbb Q|\exist n\in\N\exist q\in\Z.r=qp^{-n}\}

$ \R_p:\N\ni p\mapsto\{x\in\R|\forall r\in\Bbb Q_p.x\le r\lor r\le x\}

性質

明らかに、有理数と無理数は p進小数であり、従って代数的数又は超越数であるような実数は p進小数です。

$ \Bbb Q_p\subseteq\R_p

定理

意味

証明

$ \sum_{m-n\le k\le m}a_kp^k=p^{m-n}\sum_{m-n\le k\le m}a_kp^{k-m+n}

$ = p^{m-n}\sum_{0\le k\le n}a_{k+m-n}p^k

$ =l_{n-m}p^{m-n}

$ l_i:=\sum_{0\le k\le i+m}a_{k-i}p^k

$ \in\Z

$ \because \forall k\ge0.a_{k-i}p^k\in\Z

$ l_{n-m}p^{m-n}=\sum_{m-n\le k\le m}a_kp^k

$ \le\sum_{j\le k<m-n}a_kp^k+\sum_{m-n\le k\le m}a_kp^k

$ \because0\le\sum_{j\le k<m-n}a_kp^k

$ =\sum_{j\le k\le m}a_kp^k

$ =\sum_{j\le k<m-n}a_kp^k+l_{n-m}p^{m-n}

$ \le(p-1)\sum_{j\le k<m-n}p^k+l_{n-m}p^{m-n}

$ = (p-1)\sum_{j\le k<m-n}⊿\frac{p^k}{p-1}+l_{n-m}p^{m-n}

$ = (p-1)\left(\frac{p^{m-n}}{p-1}-\frac{p^j}{p-1}\right)+l_{n-m}p^{m-n}

$ =p^{m-n}-p^j+l_{n-m}p^{m-n}

$ \implies\forall n\in\N_{\ge0}\forall j<m-n.l_{n-m}p^{m-n}\le\sum_{j\le k\le m}a_kp^k\le(l_{n-m}+1)p^{m-n}-p^j

$ \implies\forall n\in\Z_{\ge0}.l_{n-m}p^{m-n}\le\sum_{k\le m}a_kp^k\le(l_{n-m}+1)p^{m-n}

$ \implies\forall j\in\N_{\ge-m}.l_jp^{-j}\le\sum_{k\le m}a_kp^k\le(l_j+1)p^{-j}

$ r=qp^{m+1}

$ p^m<p^{-i}=p^mp^{-i-m}

$ l_{-m}=\sum_{0\le k\le-m+m}a_{k+m}p^k=a_mp^0=a_m<p

$ l_{-m}p^{m}\le\sum_{k\le m}a_kp^k\le(l_{-m}+1)p^{m}

$ \iff a_mp^m\le\sum_{k\le m}a_kp^k\le(a_m+1)p^{m}

$ <(a_m+1)p^{-i}

$ \le qp^{-i}

$ =r

$ r=qp^{-i}\le a_mp^{-i}<p^{1-i}

$ \forall j\in\Z.

$ l_jp^{-j}=\sum_{-j\le k\le m}a_kp^k

$ \le(p-1)\sum_{-j\le k\le m}⊿\frac{p^k}{p-1}

$ =(p-1)\left(\frac{p^{m+1}}{p-1}-\frac{p^{-j}}{p-1}\right)

$ =p^{m+1}-p^{-j}

$ \implies l_j\le p^{m+j+1}-1

よって、

$ \frac{l_j+1}{p^{j-i}}\le\frac{p^{m+j+1}}{p^{j-i}}=p^{m+i+1}

はーん。つまり

$ \forall j\in\Z.(l_j+1)p^{-j}\le p^{m+1}

だったのか。

最初にもどる

$ \implies\forall j\in\N_{\ge-m}.l_jp^{-j}\le\sum_{k\le m}a_kp^k\le(l_j+1)p^{-j}

$ \implies\forall j\in\N_{\ge-m}.l_jp^{-j}\le\sum_{k\le m}a_kp^k\le(l_j+1)p^{-j}\le p^{m+1}

$ \implies l_ip^{-i}\le\sum_{k\le m}a_kp^k\le(l_i+1)p^{-i}\le p^{m+1}

一般に

$ \implies l_{-m}p^m\le\sum_{k\le m}a_kp^k\le(l_{-m}+1)p^m\le p^{m+1}

$ \implies a_mp^m\le\sum_{k\le m}a_kp^k\le(a_m+1)p^m\le p^{m+1}

$ p^{m+1}\le p^{-i}

$ \because i<-m\iff m<-i\iff m+1\le-i

$ \le qp^{-i}

$ \because1\le q

$ =r

これは逆も成り立つ

$ \forall p\in\N\forall a\in\R_p\exist m\in\Z\exist a_k:\Z_{\le m}\to[0,p\lbrack\cap\N.a=\sum_{k\le m}a_kp^k

証明

まず次を示す

$ \forall p\in\N\forall a\in\R_p\forall n,i,j\in\N.\left(i<j\land ip^{-n}\le a\le jp^{-n}\implies\exist l\in\N\cap[i,j\lbrack.(lp^{-n}\le a\le (l+1)p^{-n})\right)

証明方針

証明

$ ip^{-n}\le a\le (i+1)p^{-n}

$ \iff\exist l\in\N.\begin{dcases}lp^{-n}\le a\le (l+1)p^{-n}\\i\le l<i+1\end{dcases}

$ \iff\exist l\in\N\cap[i,i+1\lbrack.(lp^{-n}\le a\le (l+1)p^{-n})

$ P(k)

$ \implies (

$ ip^{-n}\le a\le (i+k+1)p^{-n}

$ \iff ip^{-n}\le a\le (i+k)p^{-n}\lor(i+k)p^{-n}\le a\le (i+k+1)p^{-n}

$ \implies\exist l\in\N\cap[i,i+k\lbrack.(lp^{-n}\le a\le (l+1)p^{-n})\lor(i+k)p^{-n}\le a\le (i+k+1)p^{-n}

$ \iff\exist l\in\N.

$ \begin{dcases}i\le l<i+k\land lp^{-n}\le a\le (l+1)p^{-n})\\l=i+k\land lp^{-n}\le a\le (l+1)p^{-n})\end{dcases}

$ \iff\exist l\in\N\cap[i,i+k+1\lbrack.(lp^{-n}\le a\le (l+1)p^{-n})

$ \iff P(k+1)

$ ①\land②\implies\forall p\in\N\forall a\in\R_p\forall n,i,k\in\N.P(k)

$ ③\implies\forall p\in\N\forall a\in\R_p\forall i,j\in\N.\left(i<j\land i\le a\le j\implies\exist l\in\N\cap[i,j\lbrack.(l\le a\le (l+1))\right)

$ \implies\forall p\in\N\forall a\in\R_p\exist N,l\in\N.0\le l<N\land l\le a\le l+1

最初から整数の範囲で議論すべきだったか？

(55-6) l0 = m

å

k=0 ak pk

とします。以下、自然数 n に対し、

(55-7) ln p-n £ a £ (ln + 1)p-n

を満たす ln が求まったものと仮定します。これは

(55-8) (ln p)p-n-1 £ a £ {(ln + 1)p}p-n-1

と書けるので、(55-5) により

(55-9) ln p £ ln+1 < (ln + 1)p

を満たし、(55-7) の n を n + 1 に置き換えたものが成り立つような自然数 ln+1 が存在します。

そこで a-n-1 :º ln+1 - ln p と置けば、これは整数で、しかも 0 £ a-n-1 < p が成り立ち、しかも a - p-n £ ln p-n £ a ですから

(55-10) a =

lim

n ® ¥ ln p-n = l0 + ¥

å

n=0 ( ln+1 p-n-1 - ln p-n ) = l0 + ¥

å

n=0 a-n-1 p-n-1 = m

å

k=-¥ ak pk

と書け、a が (55-2) の表示を持つことがわかりました。

(55-11a) l0 = n/p

(55-11b) pln = mkn + ln+1 ( kn , ln+1ÎN ; 0 £ ln+1 < m )

によって { ln | nÎN } , { kn | nÎN } を定義すると

(55-12) n = l0 p = ¥

å

n=0 ( ln p-n+1 - ln+1 p-n ) = ¥

å

n=0 mkn p-n

(55-13) kn = pln - ln+1

————–

m £ pln

——

m < p ( n ³ 1 )

ゆえに k0 を p進展開して

(55-14) k0 = m

å

k=0 ak pk

とし、a-n :º kn ( n ³ 1 ) と置けば、n/m の p進展開：

(55-15) n/m = m

å

k=-¥ ak pk

が得られます。ところで (55-11b) により、kn と ln+1 は共に ln の関数です：

(55-16a) kn = j(ln )

(55-16b) ln+1 = y(ln )

しかも、y は m 個の元からなる有限集合 Nm への写像ですから、{ ln | 1 £ n £ m + 1 } = { y(ln ) | 0 £ n £ m } の中には必ず重複があります（このような論法を鳩ノ巣原理とよぶことがあります）。

例えば ln = ln' ( 1 £ n < n' £ m + 1 ) とすると、(55-16b) により、任意の kÎN に対して ln+k = ln'+k となり、従って (55-16a) により kn+k = kn'+k となります。言い換えると、{ ak | k £ m } は途中から繰り返しが生じています。このような p進小数を循環小数といい、

(55-17) am ¼ a0 . a-1 ¼ a-n+1 ·

a-n a-n-1 ¼ a-n'+2 ·

a-n'+1

と書きます。ただし、n' = n + 1 のときは、ドット付きの数字は一個だけになります。

さて、これとは逆に、任意の循環小数は有理数です。

実際、(55-17) のp進循環小数 a は、有理数：

(55-18a) b :º m

å

k=-n+1 ak pk

(55-18b) c :º n'-1

å

k=n a-k p-k

により

(55-19) a = b + c ¥

å

k=0 p-(n'-n) k = b + c

———–

1 - pn-n'

と書け、これは明らかに有理数です。以上で有理数と循環小数は同じものであることがわかりました。

次に、aÎRp \\ Qp の p進小数展開は一意的であることを証明しましょう。

実際、この場合、任意の整数 n に対し、(55-4) を満たす l が存在しますが、このとき a が Qp のすべての元と異なることから

(55-20) lp-n < a < (l + 1)p-n

が成り立つので、このような l は一意的に定まることがわかります。ゆえにこれを ln と書けば、(55-3b) の括弧の中により

(55-21) ln p-n = m

å

k=-n ak pk

が成り立つので、これを逆に解けば、

(55-22) a-n = pn ( ln p-n - ln-1 p-n+1 ) = ln - pln-1

と一意的に解けますから、これで p進表示の一意性は証明されました。

さて、前節で超越数であることがわかった e や p は p進小数展開できることがわかりましたから、これらを実際に十進小数展開してみましょう。

まず e ですが、(46-31a) により

(55-23) 0 < e - n

å

k=0 1

—–

k! = ¥

å

k=n+1 1

—–

k! < 1

—–

n! ¥

å

k=1 1

———–

(n + 1)k = 1

——

n! n

という評価が得られますが、この式で n = 13 とすれば、

(55-24) e

= 13

å

k=0 1

—–

k! + d æ

è 0 < d < 1

———

13! · 13 = 1

——————

80951270400 £ 13 · 10-12 ö

ø

= 1 + 1 + 1

—–

2 + 1

—–

6 + 1

—–

24 + 1

—–

120 + 1

—–

720 + 1

——–

5040 + 1

———

40320 + 1

———

362880 + 1

———–

3628800 + 1

————

39916800 + 1

————–

479001600 + 1

—————

6227020800 + d

= 1 + 1 + 0.5 + 0.166666666666 + 0.041666666666 + 0.008333333333 + 0.001388888888 + 0.000198412698 + 0.000024801587

+ 0.000002755731 + 0.000000275573 + 0.000000025052 + 0.000000002087 + 0.000000000160 + d + e ( 0 £ e £ 11 · 10-12 )

= 2.718281828441 + d + e ( 0 £ d + e £ 24 · 10-24 )

= 2.7182818284¼

という e の小数展開が得られます。

ただし e は、11個の有理数を小数展開したときに、小数点以下12桁まででカットしたことによる誤差の合計で、その評価は、それぞれの誤差が最大 10-12 であることによるものです。

次は p です。

既に (47-25) や (48-44) で p の級数及び無限積による表示が得られていますが、これらの収束は遅いので、実際の計算には適しません。

そこで以下のような工夫をします。(47-22a) の右辺は、x > 0 のとき、n が偶数であるか奇数であるかにより、それぞれ正又は負になりますから、

(55-25) 2n-1

å

k=0 (- 1)k x2k+1

—————

2k + 1 < arctan x < 2n

å

k=0 (- 1)k x2k+1

—————

2k + 1

という不等式の評価が成り立ちます。

一方、任意の実数 x , y に対して a :º arctan x , b :º arctan y と置くと、tan a = x , tan b = y となりますから、(47-6c) により

(55-26) tan(a + b) = tan a + tan b

——————

1 - tan a tan b = x + y

———

1 - xy

となるので

(55-27) arctan x + y

———

1 - xy = arctan x + arctan y

という公式が得られます。ここで左辺の arctan の中が 1 になるように、x + y = 1 - xy を y について解けば、y = (1 - x)/(1 + x) となるので、

(55-28) p

—–

4 = arctan 1 = arctan x + arctan 1 - x

——–

1 + x

ゆえに例えば x = 1/2 と置けば、(1 - x)/(1 + x) = 1/3 となるので

(55-29) p

—–

4 = arctan 1

—–

2 + arctan 1

—–

3

が得られます。この右辺を (55-25) によって評価すれば、(47-25) よりはるかに早い収束で数値計算ができますが、更に効率の良い式を探してみましょう。(55-27) で y = x と置いて両辺を入れ替えると

(55-30) 2 arctan x = arctan 2x

——–

1 - x²

ここで x = 1/5 と置けば、

(55-31) 2 arctan 1

—–

5 = arctan 2/5

——–

24/25 = arctan 5

—–

12

更に (55-30) に x = 5/12 を代入すれば、

(55-32) 2 arctan 5

—–

12 = arctan 5/6

——————

(144 - 25)/144 = arctan 120

——

119

そこで (55-28) で x = 120/119 と置けば、(1 - x)/(1 + x) = - 1/239 となるので

(55-33) p

—–

4 = arctan 120

——

119 - arctan 1

——

239 = 4 arctan 1

—–

5 - arctan 1

——

239

が得られます。これはMachinの公式とよばれ、この右辺を (55-25) によって評価した式は収束が早いので、昔から計算機による p の計算によく用いられています。

そこで、このMachinの公式を使って p を実際に小数展開してみましょう。

まず (55-25) によって arctan(1/5) を計算すれば、

(55-34a) 16 arctan 1

—–

5

= 7

å

k=0 (- 1)k · 16

——————

(2k + 1) · 52k+1 + d æ

è 0 < d < 16

———

17 · 517 = 16

———————

12969970703125 £ 2 · 10-12 ö

ø

= 16

—–

5 - 16

——

375 + 16

——–

15625 - 16

———

546875 + 16

————

17578125 - 16

————–

537109375 + 16

—————–

15869140625 - 16

——————

457763671875 + d

= 3.2 - 0.042666666666 + 0.001024 - 0.000029257142 + 0.000000910222 - 0.000000029789

+ 0.000000001008 - 0.000000000034 + d + e ( - 4 · 10-12 £ e £ 2 · 10-12 )

= 3.158328957599 + d + e ( - 4 · 1012 £ d + e £ 4 · 10-12 )

次に (55-25) によって arctan(1/239) を計算すれば、

(55-34b) 4 arctan 1

——

239

= 1

å

k=0 (- 1)k · 4

———————

(2k + 1) · 2392k+1 + d' æ

è 0 < d' < 4

———–

5 · 2395 = 4

——————–

3899056325995 £ 2 · 10-12 ö

ø

= 4

——

239 - 4

————

40955757 + d'

= 0.016736401673 - 0.000000097666 + d' + e' ( - 10-12 £ e' £ 10-12 )

= 0.016736304007 + d' + e' ( - 1012 £ d' + e' £ 3 · 10-12 )

従って、- 7 · 1012 £ d + e - d' - e' £ 5 · 10-12 に注意すれば、Machinの公式 (55-33) により

(55-35) p = 16 arctan 1

—–

5 - 4 arctan 1

——

239 = 3.141592653592 + d + e - d' - e' = 3.1415926535¼

という p の小数展開が得られます。

次に、一般の無理数 a に対し、a の連分数展開について考察します。

一般に、無理数 b に対し、すべての自然数 n に対して b ¹ n + 1/2 ですから、b との差の絶対値が最小値を取る自然数が唯一つ存在します。これを b と書くことにし、実数列 an を

(55-36a) a0 = a

(55-36b) an+1 = 1

———

an - an

で定義します。帰納法により、an は無理数であることがわかるので、(55-36b) の右辺の分母は 0 になりません。また、明らかに | an - an | < 1/2 ですから | an+1 | > 2 、従って | an+1 | ³ 2 が成り立ちます。

逆に、整数 n0 と、絶対値が 2 以上の整数からなる列 { nk | k ³ 1 } が与えられたとき、各自然数 n ごとに、整数の有限列 { x(n)k | 0 £ k £ n } を“逆から”次のように定義します：

(55-37a) x(n)n = nn

(55-37b) x(n)k = nk + 1

——–

x(n)k+1

このとき、1 £ k £ n に対して

(55-38) | x(n)k | ³ n - k + 2

————

n - k + 1

が成り立ちます。実際、k = n のときは (55-37a) と | nn | ³ 2 により明らかで、k を k + 1 に置き換えたものが成り立つと仮定すると、

(55-39) | x(n)k | ³ | nk | - 1

———–

| x(n)k+1 | ³ 2 - n - k

————

n - k + 1 = n - k + 2

————

n - k + 1

となって、降順の帰納法により証明されました。特に (55-37b) の右辺に出てくる分数の分母は 0 にならないことがわかります。

ゆえに、1 £ k £ n < m なら、(55-37b) と (55-38) により

(55-40) | x(m)k - x(n)k | = |

|

|

| 1

——–

x(n)k+1 - 1

——–

x(m)k+1 |

|

|

| = | x(m)k+1 - x(n)k+1 |

———————

| x(n)k+1 | | x(m)k+1 | £ n - k

————

n - k + 1 m - k

————

m - k + 1 | x(m)k+1 - x(n)k+1 |

ゆえに、

(55-41) | x(m)k - x(n)k | £ 1

————

n - k + 1 m - n + 1

————

m - k + 1 | x(m)n - x(n)n | = 1

————

n - k + 1 m - n + 1

————

m - k + 1 1

———–

| x(m)n+1 | £ 1

————

n - k + 1 m - n

————

m - k + 1 £ 1

————

n - k + 1

これは、各 k に対して { x(n)k | n ³ k } がコーシー列になっていることを意味するので、ある xk に収束し、(55-37b),(55-38) で n ® ¥ とすれば

(55-42) xk = nk + 1

——

xk+1

(55-43) | xk | ³ 1 ( k ³ 1 )

が成り立つことがわかります。そこで、このときの x0 のことを

(55-44) x0 = n0 + 1

—

n1 + 1

—

n2 + 1

—

n3 + ¼

と書いて、これを（分子が 1 の）連分数といいます。

さて、任意の無理数 a から (55-36) によって an を作り、nn :º an と置いて、(55-44) の連分数を作ると、これが a に一致することが証明できます。

実際、(55-36b) と (55-42) から

(55-45) xk - ak = nk + 1

——

xk+1 - ak - 1

——

ak+1 = 1

——

xk+1 - 1

——

ak+1

ですから

(55-46) | xk - ak | £ 1 + 1

—–

2 = 3

—–

2

および

(55-47) | xk - ak | £ | xk+1 - ak+1 |

——————

| xk+1 | | ak+1 | £ | xk+1 - ak+1 |

——————

2

がすべての k ³ 1 について成り立ち、これは xk = ak ( k ³ 1 ) であること、従って a = a0 = a0 + 1/a1 = n0 + 1/x1 = x0 であることを意味します。

以上の議論を a = p の場合に適用してみましょう。(55-35) により

(55-48a) a0 = p = 3.141592653591 ± 6 · 10-12

(55-48b) a0 = 3

(55-49a) a1 = 1

———

a0 - 3 = 1

———————————

0.141592653591 ± 6 · 10-12 = 7.062513306 ± 10-9

(55-49b) a1 = 7

(55-50a) a2 = 1

———

a1 - 7 = 1

————————

0.062513306 ± 10-9 = 15.9965944 ± 3 · 10-7

(55-50b) a2 = 16

(55-51a) a3 = 1

———

a2 - 16 = - 1

————————–

0.0034056 ± 3 · 10-7 = - 293.6¼

(55-51b) a3 = - 294

ただし、上記の a ± b は、a - b と a + b の間にある数を表す便宜的な表記です。従って

(55-52) p = 3 + 1

—

7 + 1

—

16 - 1

—–

294 + ¼

という p の連分数展開を得ます。

もしこれを有限項で切れば、p を近似する分数として

(55-53a) p' :º 3 + 1

—–

7 = 22

—–

7 = 3.142857¼

(55-53b) p" :º 3 + 1

—

7 + 1

—

16 = 3 + 1

———–

7 + 1/16 = 3 + 16

——

113 = 355

——

113 = 3.14159292¼

が得られ、特に p" の方は、小数点以下 6 桁まで一致する、ずば抜けてよい p の近似値を与えることがわかります。

さて、次に p を数値計算するための、全く別の方法を考えてみましょう。

| a | < b であるような実数 a , b の組に対して

(55-54a) x0 :º a

(55-54b) y0 :º b

(55-55a) xn+1 :º xn + yn

———

2

(55-55b) yn+1 :º ________

Ö xn+1 yn

によって数列 { xn | nÎN } , { yn | nÎN } を定義します。このとき両数列は同一の極限値に収束することを証明しましょう。

実際、まず

(55-56a) c :º _______

Öb² - a²

(55-56b) q :º arccos a

—–

b

(55-57a) cn :º c

—–

2n

(55-57b) qn :º q

—–

2n

と置くと、0 < q < p ですが、

(55-58a) xn :º cn cot qn

(55-58b) yn :º cn csc qn

が成り立つことを n に関する帰納法で証明します。

まず、(55-56b) により a/b = cos q で、しかも b > 0 , sin q > 0 ですから、(55-56a) により c = b __________

Ö1 - cos²q = b sin q となります。

ゆえに b = c csc q 及び a = b cos q = c csc q cos q = c cot q が得られ、これで n が 0 のときは証明されました。

次に n について成り立つと仮定し、f :º qn+1 , k :º cn+1 と置くと、qn = 2f , cn = 2k となり、帰納法の仮定により

(55-59a) xn+1 = xn + yn

———

2 = k {cot(2f) + csc(2f)} = k{cos(2f) + 1}/sin(2f) = k{2 cos² f}/{2 sin f cos f} = k cot f

(55-59b) yn+1 = ________

Ö xn+1 yn = ____________________

Ök cot f ·2k csc(2f) = k _________________________________

Ö(cos f / sin f) 2 /(2 sin f cos f) = k / _____

Ösin²f = k csc f

となって、帰納法が完成しました。

さて、(55-57),(55-58) により

(55-60a) xn = cn

—–

qn qn cot qn = c

—–

q qn

——–

tan qn

(55-60b) yn = cn

—–

qn qn csc qn = c

—–

q qn

——–

sin qn

と表すことができます。一方、t < 0 < p/2 に対して

(55-61) sin t < t < tan t

が成り立ちます。実際、j(t) :º t - sin t , y(t) :º tan t - t と置くと、j'(t) = 1 - cos t > 0 , y'(t) = sec² t - 1 = tan² t > 0 ですからいずれも単調増加で、しかも j(0) = y(0) = 0 なので j(t), y(t) > 0 となるからです。

また、

(55-62a)

lim

t ¯ 0 sin t

——

t = sin' 0 = cos 0 = 1

(55-62b)

lim

t ¯ 0 tan t

——

t = tan' 0 = sec² 0 = 1

ですから、n ® ¥ のとき qn ® 0 であることに注意すれば、(55-60),(55-61),(55-62) により

(55-63) xn < c

—–

q < yn

及び

(55-64)

lim

n ® ¥ xn =

lim

n ® ¥ yn = c

—–

q

が成り立つことがわかります。

従って、例えば初期値として a = 0 , b = 1/2 を与えると、c = 1/2 , q = arccos 0 = p/2 となるので、

(55-65)

lim

n ® ¥ xn =

lim

n ® ¥ yn = 1

—–

p

が得られ、このことを利用すると、この数列を使って p の値を計算することができます。

さて、この初期値のもとで数値計算するときの工夫の一つとして、加速法という方法があるのでそれを解説しましょう。

(55-66) sn :º 1

——

yn-1 = 2n sin p

—–

2n = 2n ¥

å

k=0 (- 1)k p2k+1

——————

(2k + 1)!22nk+n = p + ¥

å

k=1 (- 1)k p2k+1

—————

(2k + 1)!4nk

と表すと、右辺第２項が sn と p の誤差になります。そこで、順次

(55-67) s(1)n :º 4sn+1 - sn

————–

4 - 1 = 1

——–

4 - 1 æ

è 4p + ¥

å

k=1 (- 1)k p2k+1

——————–

(2k + 1)!4nk+k-1 - p - ¥

å

k=1 (- 1)k p2k+1

—————

(2k + 1)!4nk ö

ø = p + ¥

å

k=2 (- 1)k p2k+1

—————

(2k + 1)!4nk 41-k - 1

———–

4 - 1

(55-68) s(2)n :º 4²s(1)n+1 - s(1)n

——————

4² - 1 = 1

———

4² - 1 æ

è 4²p + ¥

å

k=2 (- 1)k p2k+1

——————–

(2k + 1)!4nk+k-2 - p - ¥

å

k=2 (- 1)k p2k+1

—————

(2k + 1)!4nk ö

ø 41-k - 1

———–

4 - 1 = p + ¥

å

k=3 (- 1)k p2k+1

—————

(2k + 1)!4nk 42-k - 1

———–

4² - 1 41-k - 1

———–

4 - 1

と定義していくと、誤差項の和の初項の冪が上がっていき、収束が早くなります。これを加速法といいます。

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